Soit \((i,j,k)\) une base orthonormée directe de \(\Rr^3\) euclidien orienté. Posons \(u = f(i)\), \(v = f(j)\) et \(w = f(k)\). Nécessairement, \(u\wedge v =f(i)\wedge f(j) = f(i\wedge j) = f(k) = w\) et de même \(v\wedge w = u\) et \(w\wedge u = v\).

1er cas. Si l’un des vecteurs \(u\) ou \(v\) ou \(w\) est nul alors \(u = v = w = 0\) et donc \(f = 0\). Réciproquement, l’application nulle convient.

2ème cas. Si les trois vecteurs \(u\), \(v\) et \(w\) sont non nuls alors \(u\wedge v\neq 0\) et donc la famille \((u,v)\) est libre. Mais alors la famille \((u,v,w)\) est une base directe de \(\Rr^3\).

Ensuite \(w = u\wedge v\) est orthogonal à \(u\) et \(v\) et \(v = w\wedge u\) est orthogonal à \(u\). On en déduit que la famille \((u,v,w)\) est une base orthogonale directe de \(\Rr^3\).

Enfin, puisque \(u\) et \(v\) sont orthogonaux, \(\|w\|=\|u\wedge v\| =\|u\|\|v\|\) et de même \(\|u\|=\|v\|\|w\|\) et \(\|v\|=\|u\|\|w\|\). Puis \(\|u\|\|v\|\|w\|= (\|u\|\|v\|\|w\|)^2\) et donc, puisque les vecteurs \(u\), \(v\) et \(w\) sont non nuls, \(\|u\|\|v\|\|w\| = 1\). Les égalités \(\|u\|\|v\|\|w\| = 1\) et \(\|u\|=\|v\|\|w\|\) fournissent \(\|u\|^2 = 1\) et de même \(\|v\|^2 =\|w\|^2 = 1\).

Finalement, la famille \((u,v,w)\) est une base orthonormée directe.

En résumé, l’image par \(f\) d’une certaine base orthonormée directe de \(\Rr^3\) est une base orthonormée directe de \(\Rr^3\) et on sait que \(f\) est un automorphisme orthogonal positif de \(\Rr^3\) c’est-à-dire une rotation de \(\Rr^3\).

Réciproquement, si \(f\) est la rotation d’angle \(\theta\) autour du vecteur unitaire \(e_3\). On considère \(e_1\) et \(e_2\) deux vecteurs de \(\Rr^3\) tels que la famille \((e_1,e_2,e_3)\) soit une base orthonormée directe.

Pour vérifier que \(f\) est solution, par linéarité, il suffit de vérifier les \(9\) égalités : \(\forall(i,j)\in\{1,2,3\}^2\), \(f(e_i\wedge e_j)=f(e_i)\wedge f(e_j)\). Pour vérifier ces \(9\) égalités, il suffit se réduisent en fin de compte d’en vérifier \(2\) :

\(f(e_1)\wedge f(e_2)= e_3 = f(e_3) = f(e_1\wedge e_2)\) et \(f(e3)\wedge f(e1) = e_3\wedge f(e_1) = f(e_2) = f(e_3\wedge e_1)\).

Les endomorphismes cherchés sont donc l’application nulle et les rotations de \(\Rr^3\).

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