Méthode “classique”. Supposons, par l’absurde, que \(\sqrt2 \in \Qq\) alors il existe deux entiers \(p,q\) tels que \(\sqrt2=\frac pq\). De plus nous pouvons supposer que la fraction est irréductible (\(p\) et \(q\) sont premiers entre eux). En élevant l’égalité au carré nous obtenons \(q^2\times 2=p^2\). Donc \(p^2\) est un nombre pair, cela implique que \(p\) est un nombre pair (si vous n’êtes pas convaincu écrivez la contraposée “\(p\) impair \(\Rightarrow\) \(p^2\) impair”). Donc \(p = 2\times p'\) avec \(p'\in \Nn\), d’où \(p^2= 4\times {p'}^2\). Nous obtenons \(q^2=2\times {p'}^2\). Nous en déduisons maintenant que \(q^2\) est pair et comme ci-dessus que \(q\) est pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car \(p\) et \(q\) étant tous les deux pairs la fraction \(\frac pq\) n’est pas irréductible et aurait pu être simplifiée. Donc \(\sqrt 2\notin\Qq\).

Autre méthode. Supposons par l’absurde que \(\sqrt 2 \in \Qq\). Alors \(\sqrt 2 = \frac pq\) pour deux entiers \(p,q \in \Nn^*\). Alors nous avons \(q \cdot \sqrt 2 \in \Nn\). Considérons l’ensemble suivant : \[\mathcal{N} = \left\lbrace n \in \Nn^* \mid n\cdot \sqrt 2 \in \Nn \right\rbrace.\] Cet ensemble \(\mathcal{N}\) est une partie de \(\Nn^*\) qui est non vide car \(q\in\mathcal{N}\). On peut alors prendre le plus petit élément de \(\mathcal{N}\) : \(n_0 = \min \mathcal{N}\). En particulier \(n_0 \cdot \sqrt 2 \in \Nn\). Définissons maintenant \(n_1\) de la façon suivante : \(n_1 = n_0 \cdot \sqrt 2 - n_0\). Il se trouve que \(n_1\) appartient aussi à \(\mathcal{N}\) car d’une part \(n_1 \in \Nn\) (car \(n_0\) et \(n_0 \cdot \sqrt{2}\) sont des entiers) et d’autre part \(n_1 \cdot \sqrt 2 = n_0 \cdot 2 - n_0 \cdot \sqrt 2 \in \Nn\). Montrons maintenant que \(n_1\) est plus petit que \(n_0\). Comme \(0 < \sqrt 2 -1 < 1\) alors \(n_1 = n_0 (\sqrt 2 -1) < n_0\) et est non nul.

Bilan : nous avons trouvé \(n_1 \in \mathcal{N}\) strictement plus petit que \(n_0 = \min \mathcal{N}\). Ceci fournit une contradiction. Conclusion : \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel.

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