Posons \(g(x,y)=x^2+y^2-4\), de sorte que la contrainte soit de la forme \(g(x,y)=0\). Posons alors le Lagrangien comme étant \[L(x,y,\lambda)- f(x,y)-\lambda g(x,y) = x^3+y^3-\lambda (x^2+y^2-4)\] Déterminons les points stationnaires du Lagrangien : ils vérifient donc \[\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial y} = \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\] Nous obtenons alors le système suivant: \[3x^2-2\lambda x=0;~~3y^2-2\lambda y=0; ~~~x^2+y^2-4=0\] Après résolution, nous obtenons six points stationnaires possibles:
\((0;2)\) correspondant à \(\lambda =3\),
\((0;-2)\) correspondant à \(\lambda =-3\),
\((2;0)\) correspondant à \(\lambda = 3\),
\((-2;0)\) correspondant à \(\lambda =-3\)
\((\sqrt{2};\sqrt{2})\) correspondant à \(\lambda = 3/\sqrt{2}\)
\((-\sqrt{2};-\sqrt{2})\) correspondant à \(\lambda = -3/\sqrt{2}\).

Nous allons devoir déterminer la nature des points stationnaires précédents, en examinant le signe de la forme quadratique hessienne sur les espaces tangents \(T\).
Déjà, le vecteur \((u,v)\) appartient à \(T\) en un point \((x_0;y_0)\) si et seulement si il est orthogonal au gradient \(\nabla g(x_0,y_0)\) de \(g\) au point \((x_0,y_0)\). Ainsi, nous obtenons pour condition pour \((u,v)\in T\): \[\frac{\partial g}{\partial x}(x_0;y_0) u + \frac{\partial g}{\partial y}(x_0;y_0) v=0 ~~\Leftrightarrow ~~ 2x_0u+2y_0 v=0\] Ainsi, la condition pour que \((u,v)\in T\) au point \((x_0;y_0)\) est \(x_0 u+y_0v=0\).

Etudions alors la forme quadratique hessienne au point \((x_0,y_0;\lambda_0)\): \[Q(u,v) = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 L}{\partial x^2}(x_0;y_0;\lambda_0) u^2 + \frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y}(x_0;y_0;\lambda_0) uv + \frac{\partial^2 L}{\partial y^2}(x_0;y_0;\lambda_0) v^2 = (3x_0-\lambda_0)u^2+(3y_0-\lambda_0)v^2\]

\(\bullet\) Pour le point \((0,2)\) correspondant à \(\lambda_0=3\), nous obtenons alors \[(u,v)\in T \Leftrightarrow Q(u,v)=-6u^2+6v^2\] Comme \((u,v)\in T\), nous avons que \(v=0\). Il s’ensuit donc que \(Q(u,0)=-6u^2\): il s’agit d’un maximum en ce point.

\(\bullet\) Pour le point \((0;-2)\): un calcul similaire conduit à un minimum en ce point.

\(\bullet\) Pour le point \((2;0)\), correspondant à \(\lambda =3\): nous obtenons que \(Q(u,v)=Q(0,v)=-6v^2\) et donc ce point est un maximum.

\(\bullet\) Pour le point \((-2;0)\) correspondant à \(\lambda =-3\), nous obtenons \(Q(u,v)=Q(0,v)=+v^2\) donc ce point est un minimum.

\(\bullet\) Pour le point \((\sqrt{2};\sqrt{2})\) correspondant à \(\lambda = 3/\sqrt{2}\), nous obtenons pour contrainte de \((u,v)\in T\) que \(u+v=0\) soit \(u=-v\). Il s’ensuit alors que \(Q(u,v)=Q(u,-u)=6\sqrt{2}u^2>0\) et donc ce point est un minimum.

\(\bullet\) Pour le point \((-\sqrt{2};-\sqrt{2})\) correspondant à \(\lambda = 3/\sqrt{2}\), nous obtenons \(Q(u,v)=Q(u,-u)=-6\sqrt{2}u^2<0\) et donc ce point est un maximum.

Optimisation sous contrainte (4)