\[\]

Soit \(x_0\) un réel non nul. Une équation de la tangente \((T_{x_0})\) à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(x_0\) est \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). \((T_{x_0})\) passe par l’origine si et seulement si

\[x_0f'(x_0)-f(x_0)=0.\]

Pour \(x\) réel, on pose \(g(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{f(x)}{x}\;\mbox{si}\;x\neq0\\ 0\;\mbox{si}\;x=0 \end{array} \right.\) (\(g\) est la fonction pente à l’origine ).

Puisque \(f\) est continue et dérivable sur \(\Rr\), \(g\) est déjà continue et dérivable sur \(\Rr^*\).

Puisque \(f\) est dérivable en \(0\) et que \(f(0)=f'(0)=0\), \(g\) est de plus continue en \(0\).

Finalement, \(g\) est continue sur \([0,a]\), dérivable sur \(]0,a[\) et vérifie \(g(0)=g(a)(= 0)\). D’après le théorème de Rolle, il existe un réel \(x_0\) dans \(]0,a[\) tel que \(g'(x_0)=0\). Puisque \(x_0\) n’est pas nul, on a \(g'(x_0)=\frac{x_0f'(x_0)-f(x_0)}{x_0^2}\). L’égalité \(g'(x_0)=0\) s’écrit \(x_0f'(x_0)-f(x_0)=0\) et, d’après le début de l’exercice, la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(x_0\) passe par l’origine.

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