Soit \(x\in]-1,1[\). Pour \(n\in\Nn^*\), \(\left|x^{n^2}\right|=|x|^{n^2}\leqslant|x|^n\). Puisque la série numérique de terme général \(|x|^n\) converge, on en déduit que la série de terme général \(x^{n^2}\) est absolument convergente et en particulier convergente. Donc, \(f\) est bien définie sur \(]-1,1[\).

Soit \(x\in]0,1[\). La fonction \(t\mapsto x^{t^2}=e^{t^2\ln x}\) est décroissante sur \([0,+\infty[\). Donc, \(\forall k\in\Nn^*\), \(\int_{k}^{k+1}x^{t^2}\;dt\leqslant x^{k^2}\leqslant\int_{k-1}^{k}x^{t^2}\;dt\). En sommant ces inégalités, on obtient

\(\forall x\in]0,1[\), \(\int_{1}^{+\infty}x^{t^2}\;dt\leqslant f(x)\leqslant\int_{0}^{+\infty}x^{t^2}\;dt\)\((*)\).

Soit \(x\in]0,1[\). En posant \(u=t\sqrt{-\ln x}\), on obtient

\(\int_{0}^{+\infty}x^{t^2}\;dt=\int_{0}^{+\infty}e^{t^2\ln x}\;dt=\int_{0}^{+\infty}e^{-(t\sqrt{-\ln x})^2}\;dt=\frac{1}{\sqrt{-\ln x}}\int_{0}^{+\infty}e^{-u^2}\;du=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}\).

L’encadrement \((*)\) s’écrit alors

\(\forall x\in]0,1[\), \(\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}-\int_{0}^{1}x^{t^2}\;dt\leqslant f(x)\leqslant\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}\).

Comme \(\displaystyle\lim_{\substack{x\rightarrow1\\ x<1}}\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}=+\infty\), on a montré que

\(\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\underset{x\rightarrow1,\;x<1}{\sim}\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-\ln x}}\).

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