Il est immédiat que \(u\) croit strictement et que \(v-u\) est strictement positive et tend vers \(0\). De plus, pour \(n\) entier naturel donné,

\[v_{n+1}-v_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)\times(n+1)!}-\frac{1}{n\times n!}=\frac{n(n+1)+n-(n+1)^2}{n(n+1)\times(n+1)!}=\frac{-1}{n(n+1)\times(n+1)!}< 0,\] et la suite \(v\) est strictement décroissante. Les suites \(u\) et \(v\) sont donc adjacentes et convergent vers une limite commune (à savoir \(e\)).

(Remarque. Dans ce cas, la convergence est très rapide. On a pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}<e<\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\times n!}\) et \(n=5\) fournit par exemple \(2,716...<e<2,718...\)).

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