On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout entier \(n\), \[u_{n+1}=\frac{2}{1+u_n}\]
Calculer \(u_1\) et \(u_2\). La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? Géométrique ?
Démontrer que si \(u_{n+1}=-2\) alors \(u_n=-2\). En déduire que pour tout \(n\), \[u_n \neq -2\]
Démontrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a \[0\leq u_n \leq 3\]
On considère la suite \((v_n)\) définie, pour tout entier \(n\) par \[v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}\]
Expliquer pourquoi la suite \((v_n)\) est bien définie pour tout \(n\).
Calculer \(v_0\), \(v_1\) et \(v_2\). Démontrer que la suite \((v_n)\) est géométrique. Quelle est sa raison ?
Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).
Exprimer \(u_n\) en fonction de \(v_n\), puis en fonction de \(n\). Que vaut \(u_{10}\) ?