Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espace vectoriel sur \(K\) des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients dans \(K.\) Si \(i\) et \(j\) sont des entiers compris entre 1 et \(n\), on note par \(F_{ij}\) l’élément de \(F\) dont le coefficient \((i,j)\) est 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Montrer que les \(F_{ij}\) forment une base de \(F\). Dimension de \(F\)? Soit \(D\) dans \(F\) et diagonale. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) dans \(K\) et soit l’endomorphisme \(\Phi\) de \(F\) qui à la matrice \(X\) fait correspondre la matrice \(\Phi(X)=\alpha XD+ \beta DX.\) Calculer \(\Phi(F_{ij}).\) \(\Phi\) est il un endomorphisme diagonalisable? Donner son polynôme caractéristique en fonction des coefficients de \(D\) et de \(\alpha\) et \(\beta\).
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