Soit \(G\) un groupe, \(e\) son élément neutre. Un élément \(g\) de \(G\) est dit d’ordre \(n\in {\Nn}\) si \(g^n=e\) et \(g^k\not = e\) pour tout entier \(k<n\). \(g\) est dit d’ordre fini si il est d’ordre \(n\) pour un \(n\) quelconque.
1
Montrer que \(Gl_2({\Rr})\) contient des éléments d’ordre \(2\) et des éléments qui ne sont pas d’ordre fini.
2
Soit \(\varphi\) un homomorphisme de \(G\) à valeurs dans \(H\) et \(g\) un élément de \(G\) d’ordre \(n\). Montrer que :
- \(\varphi (g)\) est d’ordre fini inférieur ou égal à \(n\).
- Si \(\varphi\) est injectif, l’ordre de \(\varphi (g)\) est égal à \(n\).
3
Montrer que si \(G\) n’a qu’un nombre fini d’éléments, tous ses éléments ont un ordre fini.