On va appliquer le théorème de Fubini, en essayant de simplifier : \[\begin{align*} \boxed{\sum_{1\leq i \leq j \leq n} \frac{i}{1+j}} &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j \frac{i}{1+j} \\ &= \sum_{j=1}^n \frac{1}{1+j} \sum_{i=1}^j i \\ &= \sum_{j=1}^n \frac{1}{1+j} \frac{j(j+1)}{2} \\ &= \sum_{j=1}^n \frac{j}{2} = \boxed{\frac{n(n+1)}{4}} \end{align*}\] Pour la deuxième, on utilise le fait que \(\max(i,j)= j\) si \(j\geq i\) : \[\begin{align*} \boxed{\sum_{1\leq i\leq j\leq n} \max(i,j)} & \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j \max(i,j)\\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j j = \sum_{j=1}^n j\times j \\ &=\sum_{j=1}^n j^2 = \boxed{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} \end{align*}\] Pour la troisième, on écrit par sommation par parquet puisque \(1\leq i,j\leq n\) si et seulement si \(1\leq i\leq j\leq n\) ou \(1\leq i < j \leq n\) : \[\begin{align*} \boxed{\sum_{1\leq i,j\leq n} \max(i,j)}&= \sum_{1\leq i\leq j\leq n} \max(i,j) + \sum_{1\leq j < i \leq n} \max(i,j) \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^{i-1} i \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \sum_{i=2}^n i(i-1) \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \sum_{i=1}^n i(i-1) \text{ car le terme est nul pour } i=1\\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2}\right) \\ &= n(n+1)\left( \frac{2n+1}{3}- \frac{1}{2}\right) = \boxed{\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}} \end{align*}\]

De même, \(|i-j|=j-i\) si \(j\geq i\) : \[\begin{align*} \boxed{\sum_{1\leq i\leq j\leq n} 3^{-|i-j|}} &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j 3^{-|i-j|} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j 3^{-(j-i)} \\ &= \sum_{j=1}^n 3^{-j}\sum_{i=1}^j 3^i = \sum_{j=1}^n 3^{-j} \frac{3-3^{j+1}}{1-3} \\ &= \frac12 \sum_{j=1}^n \left(3-3^{-j+1}\right)\\ &= \frac12 \left( \sum_{j=1}^n 3 - 3\sum_{j=1}^n \left(\frac13\right)^j \right)\\ &= \frac12 \left( 3n - 3\frac{\frac{1}{3}-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13} \right) = \boxed{\frac{1}{2}\left(3n-\frac{3}{2}\left(1-\left(\frac13\right)^n\right)\right)} \end{align*}\]

Des sommes plus compliquées