On a \(H_1\subset H_1+H_2\) et donc \(\mbox{dim }(H_1+H_2)\geq n-1\) ou encore \(\mbox{dim }(H_1+H_2)\in\{n-1,n\}\). Donc

\[\mbox{dim }(H_1\cap H_2)=\mbox{dim }H_1+\mbox{dim }H_2-\mbox{dim }(H_1+H_2)= \left\{ \begin{array}{l} (n-1)+(n-1)-(n-1)=n-1\\ \quad\mbox{ou}\\ (n-1)+(n-1)-n=n-2 \end{array} \right..\] Maintenant, si \(\mbox{dim }(H_1+H_2)=n-1=\mbox{dim }H_1=\mbox{dim }H_2\), alors \(H_1=H_1+H_2=H_2\) et donc en particulier, \(H_1=H_2\). Réciproquement, si \(H_1=H_2\) alors \(H_1+H_2=H_1\) et \(\mbox{dim }(H_1+H_2)=n-1\). En résumé, si \(H_1\) et \(H_2\) sont deux hyperplans distincts, \(\mbox{dim }(H_1\cap H_2)=n-2\) et bien sûr, si \(H_1=H_2\), alors \(\mbox{dim }(H_1\cap H_2)=n-1\). Si \(n=2\), les hyperplans sont des droites vectorielles et l’intersection de deux droites vectorielles distinctes du plan vectoriel est de dimension \(0\), c’est-à-dire réduite au vecteur nul. Si \(n=3\), les hyperplans sont des plans vectoriels et l’intersection de deux plans vectoriels distincts de l’espace de dimension \(3\) est une droite vectorielle.

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