Si \(D\) est inversible, un calcul par blocs fournit

\(\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} D&0\\ -C&D^{-1} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} AD-BC&BD^{-1}\\ CD-DC&I \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} AD-BC&BD^{-1}\\ 0&I \end{array} \right)\) (car \(C\) et \(D\) commutent)

et donc, puisque

\[\begin{align*}\ensuremath \text{det}\left(\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} D&0\\ -C&D^{-1} \end{array} \right)\right)&=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)\text{det}\left( \begin{array}{cc} D&0\\ -C&D^{-1} \end{array} \right)=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)\times\text{det}D\times\text{det}D^{-1}\\ &=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right) \end{align*}\]

et que \(\text{det}\left( \begin{array}{cc} AD-BC&BD^{-1}\\ 0&I \end{array} \right)=\text{det}(AD-BC)\), on a bien \(\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)=\text{det}(AD-BC)\) (si \(C\) et \(D\) commutent).

Si \(D\) n’est pas inversible, \(\text{det}(D-xI)\) est un polynôme en \(x\) de degré \(n\) et donc ne s’annule qu’un nombre fini de fois. Par suite, la matrice \(D-xI\) est inversible sauf peut-être pour un nombre fini de valeurs de \(x\). D’autre part, pour toute valeur de \(x\), les matrices \(C\) et \(D-xI\) commutent et d’après ce qui précède, pour toutes valeurs de \(x\) sauf peut-être pour un nombre fini, on a

\(\text{det}\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)=\text{det}(A(D-xI)-BC)\).

Ces deux expressions sont encore des polynômes en \(x\) qui coïncident donc en une infinité de valeurs de \(x\) et sont donc égaux. Ces deux polynômes prennent en particulier la même valeur en \(0\) et on a montré que

si \(C\) et \(D\) commutent, \(\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right)=\text{det}(AD-BC)\).

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