Pour \(t\) réel, posons \(g(t)=\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\) puis, pour \(x\) réel, \(G(x)=\int_{1}^{x}g(t)\;dt\). Puisque \(g\) est définie et continue sur \(\Rr\), \(G\) est définie sur \(\Rr\) et de classe \(C^1\) et \(G'=g\) (\(G\) est la primitive de \(g\) sur \(\Rr\) qui s’annule en \(1\)). Plus précisément, \(g\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr\) et donc \(G\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr\).

Finalement, \(f\) est définie et de classe \(C^\infty\) sur \(]-\infty,1[\cup]1,+\infty[\).

Etude en 1.

Pour \(x\neq1\),

\[f(x)=\frac{G(x)}{x-1}=\frac{G(1)+G'(1)(x-1)+\frac{G''(1)}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)}{x-1}=g(1)+g'(1)(x-1)+o((x-1)).\]

Donc, \(f\) admet en \(1\) un développement limité d’ordre \(1\). Par suite, \(f\) se prolonge par continuité en \(1\) en posant \(f(1)=g(1)=\frac{1}{\sqrt{2}}\) puis le prolongement est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=\frac{1}{2}g'(1)\). Or, pour tout réel \(x\), \(g'(x)=2x\frac{1}{\sqrt{1+x^8}}+x2.(-\frac{4x^7}{(1+x^8)\sqrt{1+x^8}})=2x\frac{1-x^8}{(1+x^8)\sqrt{1+x^8}}\) et \(g'(1)=0\). Donc, \(f'(1)=0\).

Dérivée. Variations

Pour \(x\neq1\), \(f'(x)=\frac{G'(x)(x-1)-G(x)}{(x-1)^2}\).

\(f'(x)\) est du signe de \(h(x)=G'(x)(x-1)-G(x)\) dont la dérivée est \(h'(x)=G''(x)(x-1)+G'(x)-G'(x)=(x-1)g'(x)\). \(h'\) est du signe de \(2x(1-x^8)(x-1)\) ou encore du signe de \(-2x(1+x)\). \(h\) est donc décroissante sur \(]-\infty,-1]\) et sur \([0,+\infty[\) et croissante sur \([-1,0]\).

Maintenant, quand \(x\) tend vers \(+\infty\) (ou \(-\infty\)), \(G'(x)(x-1)=g(x)(x-1)\sim x\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}\) et donc \(G'(x)(x-1)\) tend vers \(0\). Ensuite, pour \(x\geq1\)

\[0\leq G(x)\leq\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{t^8}}\;dt=1-\frac{1}{x}\leq1,\]

et \(G\) est bornée au voisinage de \(+\infty\) (ou de \(-\infty\)). Comme \(G\) est croissante sur \(\Rr\), \(G\) a une limite réelle en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Cette limite est strictement positive en \(+\infty\) et strictement négative en \(-\infty\). Par suite, \(h\) a une limite strictement positive en \(-\infty\) et une limite strictement négative en \(+\infty\). Sur \([0,+\infty[\), \(h\) est décroissante et s’annule en \(1\). Donc, \(h\) est positive sur \([0,1]\) et négative sur \([1,+\infty[\).

Ensuite,

\[h(-1)=\int_{-1}^{1}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt-\sqrt{2}=2\int_{0}^{1}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt-\sqrt{2}<2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2}}\;dt-\sqrt{2}=0,\]

et \(h(-1)<0\). \(h\) s’annule donc, une et une seule fois sur \(]-\infty,-1[\) en un certain réel \(\alpha\) et une et une seule fois sur \(]-1,0[\) en un certain réel \(\beta\). De plus, \(h\) est strictement positive sur \(]-\infty,\alpha[\), strictement négative sur \(]\alpha,\beta[\), strictement positive sur \(]\beta,1[\) et strictement négative sur \(]1,+\infty[\).

\(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty,\alpha]\), strictement décroissante sur \([\alpha,\beta]\), strictement croissante sur \([\beta,1]\) et strictement décroissante sur \([1,+\infty[\).

Etude en l’infini.

En \(+\infty\) ou \(-\infty\), \(G\) a une limite réelle et donc \(f\) tend vers \(0\).

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