Soit \(n\in\N^*\). Pour \(k\in{[[0,n]]}\) on pose \(P_k = X^k(1-X)^{n-k}\).
Démontrer que \({\cal B} = (P_0,\dots,P_n)\) est une base de \(\R_n[X]\).
Calculer les composantes dans \(\cal B\) de
\(\frac{d^n}{d x^n} \bigl(X^n(1-X)^n\bigr)\). En déduire la valeur de
\(\sum_{k=0}^n (C_n^k)^2\).