Il revient au même de démontrer que, si le plan est rapporté à un repère orthonormé, il n’existe pas de triangle équilatéral dont les sommets ont pour coordonnées des nombres entiers.

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct. Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points deux à deux distincts, non alignés et à coordonnées entières. On sait que \(\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}} {||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{AC}||}\) et \(\sin(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\mbox{det}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})} {||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{AC}||}\).

Par suite, ou bien le triangle \((ABC)\) est rectangle en \(A\) (et n’est donc pas équilatéral), ou bien

\(\tan(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\mbox{det}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})} {\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}\). Dans ce dernier cas, \(\tan(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\) est un quotient de deux nombres entiers, et est donc un rationnel. Malheureusement, pour un triangle équilatéral, la tangente de chacun de ses angles vaut \(\sqrt{3}\) qui n’est pas un rationnel.

Quand le repère est orthonormé, il n’existe pas de triangle équilatéral dont les sommets sont à coordonnées entières.

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