Supposons que \(f\) est convexe sur un intervalle ouvert \(I=]a,b[\) (\(a\) et \(b\) réels ou infinis).

Soit \(x_0\in I\). On sait que la fonction pente en \(x_0\) est croissante.

Pour \(x\neq x_0\), posons \(g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\). Soit \(x'\) un élément de \(]x_0,b[\). \(\forall x\in]a,x_0[\), on a \(g(x)<g(x')\), ce qui montre que \(g\) est majorée au voisinage de \(x_0\) à gauche. Etant croissante, \(g\) admet une limite réelle quand \(x\) tend vers \(x_0\) par valeurs inférieures ou encore, \(\lim_{x\rightarrow x_0,\;x<x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) existe dans \(\Rr\). \(f\) est donc dérivable à gauche en \(x_0\). On montre de même que \(f\) est dérivable à droite en \(x_0\).

Finalement, \(f\) est dérivable à droite et à gauche en tout point de \(]a,b[\). En particulier, \(f\) est continue à droite et à gauche en tout point de \(]a,b[\) et donc continue sur \(]a,b[\).

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