\(C=A\times B\). \[\begin{align*} (a,b)\in (A\times B)^{\times} \Leftrightarrow& \exists(c,d)\in A\times B, \ (a,b)(c,d)=(1,1)\\ \Leftrightarrow& \exists(c,d)\in A\times B, \ ac=1 \text{ et } bd=1\\ \Leftrightarrow& a\in A^{\times} \text{ et } b\in B^{\times}\\ \end{align*}\] donc \((A\times B)^{\times}=A^{\times}\times B^{\times}\).

De même, on obtient que l’ensemble \(\mathcal{D}_{A\times B}\) des diviseurs de \(0\) de \(A\times B\) est \[\mathcal{D}_{A\times B}=\mathcal{D}_{A}\times B\cup A\times\mathcal{D}_{B}\cup (A\setminus\{0\})\times\{0\}\cup\{0\}\times(B\setminus\{0\}).\] Enfin, pour les nilpotents \(Nil(A\times B)=Nil(A)\times Nil(B)\).

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