Soient \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_pX^p\), et \(Q = b_0 + b_1X + \dots + b_qX^q\), avec \(a_p \ne 0,\ b_q \ne 0\).
Le résultant de \(P\) et \(Q\) est :
\(\text{Res}(P,Q) = \underbrace{\left|\begin{array}{llll}
a_0 & & & \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} a_1 &\ddots& & \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} \vdots &\ddots&\ddots& \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} a_p &\ddots&\ddots&a_0 \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} &\ddots&\ddots&a_1 \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} & &\ddots&\vdots \\
& & &a_p \end{array}\right.}_{q}
\underbrace{\left.\begin{array}{lll}
b_0 & & \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} \vdots &\ddots& \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} \vdots &\ddots&b_0 \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} b_{q-1} &\ddots&\vdots \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} b_q &\ddots&\vdots \\
\vphantom{\vdots b_{q-1}} &\ddots&b_{q-1} \\
& &b_q \end{array}\,\right|}_{p}\)
\(\begin{array}{l}\text{les positions non remplies}\\
\text{correspondent à des zéros.}\end{array}\)
En considérant l’application
\({\Phi} : { K_{q-1}[X] \times K_{p-1}[X]} \to { K_{p+q-1}[X]},
{(U,V)} \mapsto {UP+VQ,}\)
montrer que : \(\text{Res}(P,Q) \ne 0 \iff P \wedge Q = 1\).
Application : CNS pour que le polynôme \(P = X^4 + aX + b\) ait une racine multiple ?