Notons \(\ell = \mathrm{dist}(K,F)\). Alors il existe \((x_n)\) suite d’éléments de \(K\) et \((y_n)\) suite d’éléments de \(F\) telles que \(\|x_n - y_n\| \rightarrow \ell\). Comme \(K\) est compact alors on peut extraire de \((x_n)\) une sous-suite \((x_{\phi(n)})\) qui converge dans \(K\). Notons \(a\in K\) cette limite Alors la suite extraite \((y_{\phi(n)})\) est bornée car \[\| y_{\phi(n)} \| \le \| y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}\| + \|x_{\phi(n)}\|.\] La suite \((x_{\phi(n)})\) qui converge est donc bornée, et la suite \((\| y_{\phi(n)} - x_{\phi(n)}\|)\) qui converge dans \(\Rr\) (vers \(\ell\)) est bornée également. Donc la suite \((y_{\phi(n)})\) est bornée on peut donc en extraire une sous-suite convergente \((y_{\phi\circ \psi (n)})\). De plus comme \(F\) est fermé alors cette suite converge vers \(b\in F\). La suite \((x_{\phi\circ \psi (n)})\) extraite de \((x_{\phi(n)})\) converge vers \(a\in K\). Et comme nous avons extrait deux suites \((x_n)\) et \((y_n)\) on a toujours \(\|x_{\phi\circ \psi (n)} - y_{\phi\circ \psi (n)}\| \rightarrow \ell\). A la limite nous obtenons \(\| a-b\| = \ell\) avec \(a\in K\) et \(b\in F\). Remarque : si \(K\) était supposé fermé mais pas compact alors le résultat précédent pourrait être faux. Par exemple pour \(K = \{ (x,y) \in \Rr^2 \mid xy \ge 1 \text { et } y \ge 0\}\) et \(F = \{ (x,y) \in \Rr^2 \mid y \le0\}\) nous avons \(d(K,F) = 0\) mais \(K\cap F = \varnothing\).

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