On note \(\mathcal{B}=(E_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\).

\(\text{Tr}f=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}\alpha_{i,j}\) où \(\alpha_{i,j}\) désigne la \((i,j)\)-ème coordonnée de \(f(E_{i,j})=AE_{i,j}+E_{i,j}A\) dans la base \(\mathcal{B}\).

Mais pour \((i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\) donné,

\(AE_{i,j}=\sum_{1\leqslant k,l\leqslant n}^{}a_{k,l}E_{k,l}E_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}a_{k,i}E_{k,j}\)

et de même,

\(E_{i,j}A=\sum_{1\leqslant k,l\leqslant n}^{}a_{k,l}E_{i,j}E_{k,l}=\sum_{l=1}^{n}a_{j,l}E_{i,l}\).

Donc \(\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2\), \(\alpha_{i,j}=a_{i,i}+a_{j,j}\) puis

\(\text{Tr}f=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}(a_{i,i}+a_{j,j})=2\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}a_{i,i}=2\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}\right)=2\sum_{j=1}^{n}\text{Tr}A=2n\text{Tr}A\).

\(\text{Tr}f=2n\text{Tr}A\).

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