Si \(M\) est solution, nécessairement \(a\text{Tr}M +(\text{Tr}M)(\text{Tr}A)=\text{Tr}B\) ou encore \((\text{Tr}M)(a+\text{Tr}A) =\text{Tr}B\).

1er cas. Si \(\text{Tr}A\neq-a\) alors nécessairement \(\text{Tr}M=\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}\) puis \(M=\frac{1}{a}\left(B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}A\right)\).

Réciproquement, si \(M=\frac{1}{a}\left(B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}A\right)\) alors

\(aM +(TrM)A=B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}A +\frac{1}{a}\left(\text{Tr}B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}\text{Tr}A\right)A = B\).

Si \(\text{Tr}A\neq-a\), \(\mathcal{S}=\left\{\frac{1}{a}\left(B-\frac{\text{Tr}B}{a+\text{Tr}A}A\right)\right\}\).

2ème cas. Si \(\text{Tr}A=-a\) et \(\text{Tr}B\neq 0\), il n’y a pas de solution .

3ème cas. Si \(\text{Tr}A=-a\) et \(\text{Tr}B=0\), \(M\) est nécessairement de la forme \(\frac{1}{a}B +\lambda A\) où \(\lambda\) est un réel quelconque.

Réciproquement, soient \(\lambda\in\Rr\) puis \(M=\frac{1}{a}B+\lambda A\). Alors

\(aM+(\text{Tr}M)A=B+a\lambda A+\left(\frac{1}{a}\text{Tr}B+\lambda\text{Tr}A\right)A=B+a\lambda A-a\lambda A= B\),

et toute matrice de la forme \(B +\lambda A\), \(\lambda\in\Rr\), est solution.

Si \(\text{Tr}A=-a\), \(\mathcal{S}=\varnothing\) si \(\text{Tr}B\neq0\) et \(\mathcal{S}=\left\{B+\lambda A,\;\lambda\in\Rr\right\}\) si \(\text{Tr}B=0\).

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