On fixe \(p\). On démontre le résultat par récurrence sur \(n\), pour \(n\geq p\).

Initialisation : pour \(n=p\), la somme vaut \(\ds\binom{p}{p}=1\) et \(\ds\binom{p+1}{p+1}=1\) : la proposition est donc vérifiée pour \(n=p\).
Hérédité : supposons que l’égalité est vraie pour un certain entier \(n\geq p\) fixé. Alors : \[\begin{align*} \sum_{i=p}^{n+1} \binom{i}{p} &= \sum_{i=p}^n \binom{i}{p}+\binom{n+1}{p} \\ &= \binom{n+1}{p+1}+\binom{n+1}{p} \text{ par hypothèse de récurrence}\\ &= \binom{n+2}{p+1} \text{ par la formule de Pascal} \end{align*}\] Ainsi, la proposition est vérifiée au rang \(n+1\).

Conclusion : on a bien montré par récurrence que pour tout entier \(n\geq p\), on a \[\sum_{i=p}^n \binom{i}{p} = \binom{n+1}{p+1}\]

Une somme combinatoire