Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et \(f:\Omega \to \Rr^n\) une application de classe \(C^1\) qui est injective sur \(\Omega\) et telle que \(Df(x)\) soit injective pour tout \(x\in \Omega\).
Montrer que, pour tous \(a,b \in \Omega\), \[\| f(b) -f(a)- Df(a) (b-a)\| \leq \| b -a \| \sup _{c\in [a,b]} \| Df(c) -Df(a)\| \; .\]
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(C^1\) telle que \(f_n \to f\) et \(Df_n \to Df\) uniformément sur tout compact de \(\Omega\). On va montrer: pour tout compact \(K\) de \(\Omega\) il existe \(n_0\) tel que \(f_n\) soit injective sur \(K\) pour \(n\geq n_0\).
En raisonnant par l’absurde, montrer qu’il existerait \(K\) compact et, pour une infinité d’entiers \(n\), des points \(a_n, b_n \in K\) tels que \(f_n(a_n) = f_n (b_n)\).
Quitte à extraire, montrer qu’alors \(b_n - a_n \to 0\).
Utiliser (1.) pour en déduire une contradiction.