Démontrons que \((u_n)_{n\geq 1}\) est croissante, \((v_n)_{n\geq 1}\) est décroissante et que \(v_n-u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0\).

Soit \(n\geq 1\). \[\begin{align*} u_{n+1}-u_n &= \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^2} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \\ &= \frac{1}{(n+1)^2} > 0 \end{align*}\] La suite \(u\) est donc croissante. De même, soit \(n\geq 1\). \[\begin{align*} v_{n+1}-v_n &= u_{n+1}+\frac{1}{n+1} - \left(u_n+\frac1n\right) \\ &= (u_{n+1}-u_n) + \frac{1}{n+1}-\frac1n\\ &= \frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{n+1}-\frac1n\\ &= \frac{n}{n(n+1)^2}+\frac{n(n+1)}{n(n+)^2}-\frac{(n+1)^2}{n(n+1)^2}\\ &= \frac{n+n(n+1)-(n+1)^2}{n(n+1)^2} = \frac{-1}{n(n+1)^2} < 0 \end{align*}\] La suite \(v\) est donc décroissante. Enfin \[v_n-u_n=\frac1n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0\] Les suites \(u\) et \(v\) sont donc adjacentes. Par théorème, elles sont donc convergente et ont la même limite.

Leur limite commune est \(\frac{\pi^2}{6}\), mais la démonstration n’est pas aisée.

Suites adjacentes I