Supposons tout d’abord \(n=1\). Soit la gaussienne définie pour \(x\in\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^{-\frac{a x^2}{2}}\), où \(a>0\). Posons \[h(t) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2\pi i tx}\,dx = \int_{\mathbb{R}} e^{-\frac{a x^2}{2}} e^{-2\pi i tx}\,dx.\] D’après le théorème de convergence dominée, \(h\) est dérivable et \[\begin{aligned} h'(t) &=& -2\pi i \int_{\mathbb{R}}x e^{-\frac{a x^2}{2}} e^{-2\pi i tx}\,dx = \left[2\pi i \frac{1}{a} e^{-\frac{a x^2}{2}}e^{-2\pi i tx} \right]_{-\infty}^{+\infty} + (2\pi i)^2 t \frac{1}{a} \int_{\mathbb{R}}e^{-\frac{a x^2}{2}} e^{-2\pi i tx}\,dx\\ & = & - (2\pi)^2 \frac{1}{a}t\cdot \,h(t). \end{aligned}\] De plus, \[h(0) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,dx = \int_{\mathbb{R}} e^{-\frac{a x^2}{2}} \,dx = \int_{\mathbb{R}} e^{-u^2} \,du \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{a}}.\] La solution de l’équation différentielle \(h'(t) = - (2\pi)^2 \frac{1}{a}t \cdot\,h(t)\) avec condition initiale \(h(0) = \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{a}}\) est \[h(t) = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} e^{-\frac{(2\pi)^2}{a} \frac{t^2}{2}}.\]

Pour \(n>1\), on a : \[\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2\pi i (t , x)}\,dx &=& \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{a |x|^2}{2}} e^{-2\pi i (t, x)}\,dx\\ & = & \prod_{i = 1}^n \int_{\mathbb{R}}e^{-\frac{a x_i^2}{2}} e^{-2\pi i t_i x_i}\,dx_i = \prod_{i = 1}^n h(t_i) = \left(\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\right)^{n} e^{-\frac{(2\pi)^2}{a}\frac{|t|^2}{2}}\\ \end{aligned}\]

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