Pour \(k\) élément de \(\{0,...,n-1\}\), posons \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\). Décomposons \(F\) en éléments simples (sur \(\Cc\)).

\[\frac{\omega X+1}{\omega^2X+\omega X+1}=\frac{\omega X+1}{(\omega X)^2+\omega X+1}=\frac{\omega X+1}{(\omega X-j)(\omega X-j^2)}=\frac{a}{\omega X-j}+\frac{b}{\omega X-j^2},\]

avec \(a=\frac{\omega\frac{j}{\omega}}{\omega\frac{j}{\omega}-j^2}=\frac{j+1}{j-j^2}=-\frac{-j^2}{j-j^2}=\frac{j}{j-1}\) et de même \(b=\frac{j^2+1}{j^2-j}=-\frac{1}{j-1}\). Donc,

\[\begin{align*}\ensuremath F&=\frac{1}{j-1}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{j}{\omega_k X-j}-\frac{1}{\omega_k X-j^2})=\frac{1}{j-1}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{j\omega_{-k}}{X-j\omega_{-k}}-\frac{\omega_{-k}}{X-j^2\omega_{-k}}) &=\frac{1}{j-1}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{j\omega_{k}}{X-j\omega_{k}}-\frac{\omega_{k}}{X-j^2\omega_{k}}) \end{align*}\]

Maintenant les \(n\) nombres \(j\omega_k\) sont deux à deux distincts et vérifient \((j\omega_k)^n=j^n\) et donc,

\[\prod_{k=0}^{n-1}(X-j\omega_k)=X^n-j^n.\]

\(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{j\omega_k}{X-j\omega_k}\) est donc la décomposition en éléments simples d’une fraction du type \(\frac{P}{X^n-j^n}\) avec \(\mbox{deg}P\leq n-1\). De plus, on sait que \(j\omega_k=\frac{P(j\omega_k)}{n(j\omega_k)^{n-1}}\) et donc, \(\forall k\in\{0,...,n-1\},\;P(j\omega_k)=nj^n\). Le polynôme \(P-nj^n\) est de degré inférieur ou égal à \(n-1\), admet les \(n\) racines deux à deux distinctes \(j\omega_k\) et est donc le polynôme nul. Par suite

\[\sum_{k=0}^{n-1}\frac{j\omega_{k}}{X-j\omega_{k}}=\frac{nj^n}{X^n-j^n}.\]

De même, \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega_{k}}{X-j^2\omega_{k}}=\frac{nj^{2n-2}}{X^n-j^{2n}}\), puis

\[F=\frac{n}{j-1}(\frac{j^n}{X^n-j^n}-\frac{j^{2n-2}}{X^n-j^{2n}}).\]

Si \(n\in3\Zz\), posons \(n=3p\), \(p\in\Zz\). Dans ce cas,

\[F=\frac{3p}{j-1}(\frac{1}{X^{3p}-1}-\frac{j}{X^{3p}-1})=\frac{3p}{1-X^{3p}}.\]

Si \(n\in3\Zz+1\), posons \(n=3p+1\), \(p\in\Zz\). Dans ce cas,

\[F=\frac{3p+1}{j-1}(\frac{j}{X^{3p+1}-j}-\frac{1}{X^{3p+1}-j^2})=\frac{(3p+1)(X^{3p+1}+1)}{X^{6p+2}+X^{3p+1}+1}.\]

Si \(n\in3\Zz+2\), posons \(n=3p+2\), \(p\in\Zz\). Dans ce cas,

\[F=\frac{3p+2}{j-1}(\frac{j^2}{X^{3p+2}-j^2}-\frac{j^2}{X^{3p+2}-j})=\frac{3p+2}{X^{6p+4}+X^{3p+2}+1}.\]

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