Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\). Soit \(k\in\Nn\). Puisque \(\chi_A\) est de degré \(n\), la division euclidienne de \(X^k\) par \(\chi_A\) s’écrit

\(X^k=Q_k\times\chi_A+a_{n-1}^{(k)}X^{n-1}+\ldots+a_1^{(k)}X+a_0^{(k)}\) où \(Q_k\in\Rr[\Cc]\) et \((a_0^{(k)},\ldots,a_{n-1}^{(k)})\in\Cc^n\).

Le théorème de Cayley-Hamilton montre alors que \(A^k=a_{n-1}^{(k)}A^{n-1}+\ldots+a_1^{(k)}A+a_0^{(k)}I_n\).

Ainsi, \(\forall k\in\Nn\), \(A^k\in\text{Vect}(A^{n-1},\ldots,A,I_n)\) puis \(\forall p\in\Nn\), \(\sum_{k=0}^{p} \frac{A^k}{k!}\in\text{Vect}(A^{n-1},A^{n-2},\ldots,A,I_n)\). Enfin, puisque

\(\text{Vect}(A^{n-1},A^{n-2},\ldots,A,I_n)\) est un fermé de \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) en tant que sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie, \(\text{exp}(A)=\lim_{p \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{p} \frac{A^k}{k!}\in\text{Vect}(A^{n-1},A^{n-2},\ldots,A,I_n)\).

On a montré que

\(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\), \(\text{exp}(A)\in\Cc_{n-1}[A]\).

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