Soit \(z\in\C\). Si \(\overline{z}=1-z^2\), alors en conjuguant une deuxième fois on obtient : \[z=1-\overline{z}^2=1-(1-z^2)^2=2z^2-z^4.\] Donc \(z\) est une racine du polynôme \(X^4-2X^2+X\). Ce polynôme a deux racines évidentes : \(0\) et \(1\), et deux autres racines \(\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}\). Les deux dernières sont les seules à vérifier l’équation d’origine.

Autre approche : on écrit l’inconnue \(z\in\C\) sous forme cartésienne \(z=a+ib\) avec \(a\) et \(b\) réels. On obtient le système \(\begin{cases}a^2-b^2+a&=1\\2ab-b&=0\end{cases}\).

La seconde équation équivaut à \(b=0\) ou \(a=\frac{1}{2}\). Si \(b=0\), la première équation devient \(a^2+a-1=0\), dont les solutions (réelles) sont \(\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}\). Si \(a=1/2\), la première équation devient \(b^2=-\frac{1}{4}\), qui n’a pas de solutions réelles.

exo7 7209