Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un développement en série entière. On admet que \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).
1
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\), \[\int_0^1 \frac{-t^n \ln(t)}{n} \mathrm{d}t = \frac{1}{n(n+1)^2}\]
2
Déterminer \(a,b,c \in \R\) tels que \[\frac{1}{n(n+1)^2} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n+1} + \frac{c}{(n+1)^2}\]
3
À l’aide d’un développement en série entière et des résultats des questions précédentes, déterminer la valeur exacte de \(I\).