Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt\).
La fonction \(t\mapsto\Arcsin\sqrt{t}\) est continue sur \([0,1]\). Donc, la fonction \(y\mapsto\int_{0}^{y}\Arcsin\sqrt{t}\;dt\) est définie et dérivable sur \([0,1]\). De plus, \(x\mapsto\sin^2x\) est définie et dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans \([0,1]\). Finalement, la fonction \(x\mapsto\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt\) est définie et dérivable sur \(\Rr\). De même, la fonction \(t\mapsto\Arccos\sqrt{t}\) est continue sur \([0,1]\). Donc, la fonction \(y\mapsto\int_{0}^{y}\Arccos\sqrt{t}\;dt\) est définie et dérivable sur \([0,1]\). De plus, la fonction \(x\mapsto\cos^2x\) est définie et dérivable sur \(\Rr\), à valeurs dans \([0,1]\). Finalement, la fonction \(x\mapsto\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt\) est définie et dérivable sur \(\Rr\). Donc, \(f\) est définie et dérivable sur \(\Rr\) et, pour tout réel \(x\),

\[\begin{align*} f'(x)&=2\sin x\cos x\Arcsin(\sqrt{\sin^2x})-2\sin x\cos x\Arccos(\sqrt{\cos^2x})\\ &=2\sin x\cos x\left(\Arcsin(|\sin x|)-\Arccos(|\cos x|)\right). \end{align*}\] On note alors que \(f\) est \(\pi\)-pérodique et paire. Pour \(x\) élément de \([0,\frac{\pi}{2}]\), \(f'(x)=2\sin x\cos x(x-x)=0\). \(f\) est donc constante sur \([0,\frac{\pi}{2}]\) et pour \(x\) élément de \([0,\frac{\pi}{2}]\), \(f(x)=f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\int_{0}^{1/2}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{1/2}\Arccos\sqrt{t}dt=\int_{0}^{1/2}\frac{\pi}{2}\;dt= \frac{\pi}{4}\). Mais alors, par parité et \(\pi\)-périodicité,

\(\forall x\in\Rr,\;\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt=\frac{\pi}{4}.\)

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