Tout d’abord calculons l’intégrale : \[\int_{2}^4 P(x)\; dx = \left[a\frac{x^4}{4} + b\frac{x^3}{3}+c\frac{x^2}{2} +dx \right]_2^4 = 60a+\frac{56}{3}b+6c+2d.\] D’autre part \[\alpha P(2) + \beta P(3) + \gamma P(4) = \alpha\big(8a+4b+2c+d\big)+\beta\big(27a+9b+3c+d\big)+\gamma\big(64a+16b+4c+d\big).\] Donc \[\alpha P(2) + \beta P(3) + \gamma P(4) = (8\alpha+27\beta+64\gamma)a + (4\alpha+9\beta+16\gamma)b+(2\alpha+3\beta+4\gamma)c+(\alpha+\beta+\gamma)d.\] Pour avoir l’égalité \(\int_{2}^4 P(x)\; dx =\alpha P(2) + \beta P(3) + \gamma P(4)\) quelque soit les coefficients \(a,b,c,d\) il faut et il suffit que \[(8\alpha+27\beta+64\gamma)a + (4\alpha+9\beta+16\gamma)b+(2\alpha+3\beta+4\gamma)c+(\alpha+\beta+\gamma)d = 60a+\frac{56}{3}b+6c+2d\] ce qui équivaut à \[\left\{\begin{array}{rcrcrcl} \alpha & + & \beta & + & \gamma & = & 2 \\ 2\alpha & + & 3\beta & + & 4\gamma & = & 6 \\ 4\alpha & + & 9\beta & + & 16\gamma & = & \frac{56}{3} \\ 8\alpha & + & 27\beta & + & 64\gamma & = & 60 \\ \end{array} \right.\]

De façon surprenante ce système à \(3\) inconnues et \(4\) équations a une solution unique : \[\alpha = \frac 13,\quad \beta = \frac 43,\quad \gamma = \frac 13.\]

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