Si \(z_k\) est l’affixe complexe de \(M_k\) et \(a_k\) est l’affixe complexe de \(A_k\), le problème posé équivaut au système : \[\forall k\in\{1,...,n-1\},\;z_k+z_{k+1}=2a_k\;\mbox{et}\;z_n+z_1=2a_n.\]

Le déterminant de ce système vaut :

\[\begin{align*}\ensuremath \left| \begin{array}{ccccc} 1&1&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots& &\ddots&0\\ 0& &\ddots&\ddots&1\\ 1&0&\ldots&0&1 \end{array} \right| &=1.1^{n-1}+(-1)^{n+1}.1^{n-1}\;(\mbox{en développant suivant la première colonne})\\ &=1+(-1)^{n+1}. \end{align*}\]

Si \(n\) est impair, \(\mbox{det}S=2\neq 0\) et le système admet une et une seule solution.

On obtient \(z_2=2a_1-z_1\), \(z_3=2a_2-2a_1+z_1\),..., \(z_n=2a_{n-1}-2a_{n-2}+...+2a_2-2a_1+z_1\) et enfin :

\[2a_{n-1}-2a_{n-2}+...+2a_2-2a_1+z_1+z_1=2a_n,\]

et donc \(z_1=a_1-a_2+...-a_{n-1}+a_n\) puis \(z_2=a_1+a_2-a_3+...+a_{n-1}-a_n\) puis \(z_3=-a_1+a_2+a_3-a_4...+a_n\) ... puis \(z_n=-a_1+a_2-a_3+...+a_{n-1}+a_n\).

Si \(n\) est pair, \(\mbox{det}S=0\) mais le mineur formé des \(n-1\) premières lignes et \(n-1\) dernières colonnes est non nul. Donc, le système est de rang \(n-1\), les \(n-1\) premières équations et \(n-1\) dernières inconnues peuvent être choisies pour équations et inconnues principales.

On résout les \(n-1\) premières équations constituant un sytème de Cramer en \(z_2\),...,\(z_n\). On obtient

\[z_2=2a_1-z1,\;z_3=2a_2-2a_1+z_1,...,\;z_n=2a_{n-1}-2a_{n-2}+...-2a_2+2a_1-z_1.\]

La dernière équation fournit alors une condition nécessaire et suffisante de compatibilité :

\[2a_{n-1}-2a_{n-2}+...-2a_2+2a_1-z_1+z_1=2a_n\Leftrightarrow a_1+a_3...=a_2+a_4+...\]

Cette dernière condition se traduit géométriquement par le fait que les systèmes de points \((A_1,A_3,...)\) et \((A_2,A_4,...)\) ont même isobarycentre.

En résumé, si \(n\) est pair et si les systèmes de points \((A_1,A_3,...)\) et \((A_2,A_4,...)\) n’ont pas même isobarycentre, le problème n’a pas de solutions.

Si \(n\) est pair et si les systèmes de points \((A_1,A_3,...)\) et \((A_2,A_4,...)\) ont même isobarycentre, le problème a une infinité de solutions : \(M_1\) est un point quelconque puis on construit les symétriques successifs par rapport aux points \(A_1\), \(A_2\) ...

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