Soit \(f\) analytique sur un disque \(|z - z_0|\leq R\) et telle qu’il existe un certain \(z_1\) avec \(|z_1 - z_0|<R\) tel que \(|f(z)|>|f(z_1)|\) pour \(|z-z_0| = R\). Montrer que \(f\) s’annule au moins une fois dans le disque ouvert \(D(z_0,R)\). Indication : considérer sinon ce que dit le principe du maximum pour la fonction \(\frac1f\).
Théorème de Hurwitz. Soit \(f_n\) des fonctions holomorphes sur un voisinage commun \(U\) de \(\overline{D(0,1)}\) qui convergent uniformément sur \(U\). Soit \(F\) la fonction limite. On suppose que \(F\) n’a aucun zéro sur le cercle \(|z|=1\), et qu’elle a au moins un zéro dans le disque ouvert \(D(0,1)\). Montrer en appliquant la question précédente à \(f_n\) que pour \(n\gg1\) la fonction \(f_n\) a au moins un zéro dans \(D(0,1)\).1 Ce résultat est souvent appliqué sous sa forme réciproque: si des fonctions holomorphes \(f_n\) sans zéro convergent uniformément sur un ouvert connexe vers \(F\) alors soit \(F\) est identiquement nulle soit \(F\) n’a aucun zéro. Justifier cette dernière reformulation.