Si \(A\) est de rang \(n\), c’est-à-dire inversible, l’égalité \((\text{com}A)\times\frac{1}{\text{det}A}{^t}A =I_n\) montre que \(\text{com}A\) est inversible et donc de rang \(n\).

Dans ce qui suit, le lien entre le rang d’une matrice et la nullité des différents mineurs est hors programme. On suppose maintenant \(\text{rg}(A)\leqslant n-1\).

Si \(\text{rg}A\leqslant n-2\). Montrons que tous les mineurs de format \(n-1\) extraits de \(A\) sont nuls.

Soient \(j_1\),…, \(j_{n-1}\), \(n-1\) numéros de colonnes deux à deux distincts puis \(A'\in\mathcal{M}_{n,n-1}(\Kk)\) dont les colonnes sont \(C_{j_1}\),…, \(C_{j_{n-1}}\). Puisque \(A\) est de rang au plus \(n-2\), la famille des colonnes de \(A'\) est liée et donc \(A'\) est de rang au plus \(n-2\). Il en est de même de la matrice \({^t}A'\in\mathcal{n-1,n}(\Kk)\) et donc toute matrice \(A''\) obtenue en supprimant l’une des colonnes de \(A'\) est carrée, de format \(n-1\), non inversible. Son déterminant est donc nul.

Ainsi, tout déterminant obtenu en supprimant une ligne et une colonne de \(\text{det}(A)\) est nul ou encore tous les mineurs de format \(n-1\) extraits de \(A\) sont nuls. Finalement, si \(\text{rg}A\leqslant n-2\), \(\text{com}A= 0\).

Il reste à étudier le cas où \(\text{rg}A=n-1\) et donc \(\text{dim}KerA = 1\).

L’égalité \(\text{det}A=0\) impose \(A{^t}(\text{com}A) = 0\). Mais alors \(\text{Im}({^t}(\text{com}A))\subset\text{Ker}A\) et en particulier \(\text{rg}(\text{com}A)=\text{rg}({^t}(\text{com}A))\leqslant\text{dim}(\text{Ker}A)=1\). Ainsi, si \(\text{rg}(A)=n-1\) alors \(\text{rg}(\text{com}A)\in\{0,1\}\).

Montrons que l’un au moins des mineurs de format \(n-1\) extraits de \(A\) est non nul ce qui montrera que \(\text{rg}(\text{com}A)=1\).

Puisque \(\text{rg}A=n-1\), il existe \(n-1\) colonnes \(C_{j_1}\),…, \(C_{j_{n-1}}\) de \(A\) constituant une famille libre. La matrice \(A'\in\mathcal{M}_{n,n-1}(\Kk)\) constituée par ces colonnes est de rang \(n-1\). Il en est de même de sa transposée. Mais alors, il existe \(n-1\) colonnes de \({^t}A'\) linéairement indépendantes. La matrice \(A''\) constituée de ces \(n-1\) colonnes est carrée de format \(n-1\) et de rang \(n-1\). \(A''\) est donc inversible et il en est de même de \({^t}A''\). Le déterminant de \({^t}A''\) est un mineur de format \(n-1\) extrait de \(A\) et non nul.

En résumé,

\(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(\text{rg}(\text{com}A) =\left\{ \begin{array}{l} n\;\text{si}\;\text{rg}(A) = n\\ 1\;\text{si}\;\text{rg}(A) = n-1\\ 0\;\text{si}\;\text{rg}(A)\leqslant n-2 \end{array} \right.\).

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