Le polynôme nul convient. Dans la suite on suppose que \(P\) n’est pas le polynôme nul.

Notons \(n = \deg P\) son degré. Comme \(P'\) divise \(P\), alors \(P\) est non constant, donc \(n\ge 1\). Soit \(Q\in\Cc[X]\) tel que \(P=P'Q\). Puisque \(\deg(P')=\deg(P)-1\ge 0\), alors \(Q\) est de degré \(1\). Ainsi \(Q(X)=aX+b\) avec \(a\neq0\), et donc \[P(X)=P'(X)(aX+b)=aP'(X)(X+\frac{b}{a})\] Donc si \(z\not=\frac{-b}{a}\) et si \(z\) est racine de \(P\) de multiplicité \(k \ge 1\), alors \(z\) est aussi racine de \(P'\) avec la même multiplicité, ce qui est impossible. Ainsi la seule racine possible de \(P\) est \(\frac{-b}{a}\).

Réciproquement, soit \(P\) un polynôme avec une seule racine \(z_0 \in \Cc\) : il existe \(\lambda\not=0\), \(n\ge 1\) tels que \(P=\lambda(X-z_0)^n\), qui est bien divisible par son polynôme dérivé.

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