Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par \[g(x,y) = \frac{x^2 + 3y^3}{|x| + |y|}.\]
1
Déterminer l’ensemble de définition de \(g\).
2
Démontrer que \(\displaystyle\lim_{h\to 0} g(h,0) = \lim_{h\to 0} g(0,h) = \lim_{h\to 0} g(h,h)\).
3
On admet que pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\), \(|\cos\theta| + |\sin\theta| \geq 1\). Déterminer une fonction \(m\) ne dépendant pas de \(\theta\) telle que pour tout \(r>0\) et \(\theta\in\mathbb{R}\) : \[\frac{1}{r|\cos\theta| + r|\sin\theta|} \leq m(r).\]
4
Déterminer \(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)\).