Soit \(A(a,b,c)\) un point quelconque de l’espace \(E_3\).

Déterminons un système d’équation du cercle \((C_A)\) d’axe \((\Delta)\) d’équations \(x=y=z\) passant par \(A\).

Ce cercle est par exemple l’intersection du plan passant par \(A\) de vecteur normal \((1,1,1)\) et de la sphère de centre \(O\) et de rayon \(OA\).

Un système d’équations de \((C_A)\) est \(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=a+b+c\\\ x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2 \end{array} \right.\).

Déterminons alors une équation cartésienne de la surface \(\mathcal{S}\). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un point \(M(x,y,z)\) soit un point de \((\mathcal{S})\) est \((C_M)\cap(\mathcal{D})\neq\varnothing\). Donc

\[\begin{align*} M\in(\mathcal{S})&\Leftrightarrow\exists(\alpha,\beta,\gamma)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=\alpha+\beta+\gamma\\ x^2+y^2+z^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\\ \alpha=\gamma+2\\ \beta=2\gamma+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow\exists(\alpha,\beta,\gamma)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\gamma+2\\ \beta=2\gamma+1\\ x+y+z=\gamma+2+2\gamma+1+\gamma\\ x^2+y^2+z^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\exists(\alpha,\beta,\gamma)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\gamma+2\\ \beta=2\gamma+1\\ \gamma=\frac{1}{4}(x+y+z-3)\\ x^2+y^2+z^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 =\left(\frac{1}{4}(x+y+z-3)+2\right)^2 +\left(\frac{2}{4}(x+y+z-3)+1\right)^2 +\left(\frac{1}{4}(x+y+z-3)\right)^2\\ &\Leftrightarrow16(x^2+y^2+z^2) =(x+y+z+5)^2+4(x+y+z-1)^2+(x+y+z-3)^2 \\ &\Leftrightarrow16(x^2+y^2+z^2) = 6(x+y+z)^2-2(x+y+z) + 38\\ &\Leftrightarrow5(x^2+y^2+z^2) -6(xy+yz+zx)-(x+y+z)-19 = 0. \end{align*}\]

Une équation cartésienne de \((\mathcal{S})\) est \(5(x^2+y^2+z^2) -6(xy+yz+zx)-(x+y+z)-19 = 0\).

La matrice de la forme quadratique \((x,y,z)\mapsto5(x^2+y^2+z^2) -6(xy+yz+zx)\) dans la base canonique de \(\Rr^3\) est \(\left( \begin{array}{ccc} 5&-3&-3\\ -3&5&-3\\ -3&-3&5 \end{array} \right)\). Ses valeurs propres sont \(8\), valeur propre d’ordre \(2\) associée au plan d’équation \(x+y+z=0\) et \(-1\) valeur propre d’ordre \(1\) associé à la droite d’équation. Dans le repère \(\left(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\right)\) où \(\overrightarrow{e_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)\), \(\overrightarrow{e_2}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)\) et \(\overrightarrow{e_3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\)

\(M\in(\mathcal{S})\Leftrightarrow8x'^2+8y'^2-z'^2-\sqrt{3}z'-19=0\Leftrightarrow8\left(x'-\frac{\sqrt{3}}{16}\right)^28y'^2-z'^2=19+\frac{3}{32}\).

La surface \((\mathcal{S})\) est un hyperboloïde à une nappe.

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