Remarques. 1) Soit \((G,*)\) un groupe. Le centre de \(G\) est l’ensemble des éléments de \(G\) qui commutent avec tous les éléments de \(G\). Ce centre, souvent noté \(Z\), est un sous-groupe de \((G,*)\).

2) \((\mathcal{L}(E),\circ)\) est un magma associatif et unitaire mais non commutatif (pour \(\text{dim}E> 1)\) mais \((\mathcal{L}(E),\circ)\) n’est pas un groupe. Par contre \((\mathcal{GL}(E),\circ)\) est un groupe (groupe des inversibles de \((\mathcal{L}(E),\circ)\)).

Soit \(f\) un endomorphisme (resp. automorphisme) de E commutant avec tous les endomorphismes (resp. les automorphismes) de \(E\). \(f\) commute en particulier avec toutes les symétries.

Soit \(x\) un vecteur non nul de \(E\) et \(s\) la symétrie par rapport à \(\text{Vect}(x)\) parallèlement à un supplémentaire donné de \(\text{Vect}(x))\).

\(s(f(x)) =f(s(x))=f(x)\).

Par suite, \(f(x)\) est invariant par \(s\) et appartient donc à \(Vect(x)\). Ainsi, si \(f\) commute avec tout endomorphisme (resp. automorphisme) de \(E\), \(f\) vérifie nécessairement \(\forall x\in E\), \((x,f(x))\) liée et d’après le [ex:rou25], \(f\) est nécessairement une homothétie. Réciproquement , les homothéties de \(E\) commutent effectivement avec tout endomorphisme de \(E\).

Les endomorphismes de \(E\) qui commutent avec tout endomorphismes de \(E\) sont les homothéties.

Pour le centre de \(\mathcal{GL}(E)\), il faut enlever l’application nulle qui est une homothétie mais qui n’est pas inversible.

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