Théorème. L’espace \(L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\) n’est pas séparable.
Le but de cet exercice est de démontrer ce théorème.
Soit \(E\) un espace de Banach. On suppose qu’il existe une famille \((O_{i})_{i\in I}\) telle que
Pour tout \(i\in I\), \(O_i\) est un ouvert non vide de \(E\).
\(O_i \cap O_j = \emptyset\) si \(i\neq j\).
\(I\) n’est pas dénombrable.
Montrer que \(E\) n’est pas séparable. (On pourra raisonner par l’absurde).
Pour tout \(a\in \mathbb{R}^{n}\), on pose \(f_{a} = \mathbf{1}_{\mathcal{B}(a, 1)}\) où \(\mathcal{B}(a, 1)\) est la boule de \(\mathbb{R}^n\) de rayon \(1\) centrée en \(a\). Montrer que la famille \[O_a = \{ f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n), ~ \|f - f_a \|_{\infty} < \frac{1}{2}\},\] où \(a\) parcourt les points de \(\mathbb{R}^n\), satisfait (a), (b) et (c). Conclure.