Notons, pour le cas où la famille Potter comporte \(2\) enfants, l’univers des possibles pour les enfants : \(\Omega =\{(G,G),(G,F),(F,G),(F,F)\}\), représente les cas possibles, équiprobables, d’avoir garçon-garçon, garçon-fille etc... : Alors \(P(A)=\frac{2}{4},\) \(P(B)=\frac{3}{4}, P(A\cap B) = \frac{2}{4}\). On en conclut que : \(P(A\cap B)\neq P(A)P(B)\) et donc que les événements \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.

Si maintenant la famille Potter comporte \(3\) enfants : Alors \(\Omega' = \{ (a,b,c) \mid a \in \{ G,F \}, b\in \{G,F\}, c\in \{G,F\}\}\) représente les \(2^{3}=8\) cas possibles, équiprobables. Cette fois, \(P(A)=1-P(\{(G,G,G),(F,F,F)\})=\frac{6}{8}\) ; \(P(B)=\frac{4}{8}, P(A\cap B)=P\{(F,G,G),(G,F,G),\{(G,G,F)\}=\frac{3}{8}\). On a \(P(A)P(B)=\frac{3}{8}=P(A\cap B),\) et les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants

Avec \(n\) enfants, on peut généraliser sans difficulté : \(P(A)=1-\frac{2}{2^{n}},\) \(P(B)=\frac{1+n}{2^{n}}\) \(P(A\cap B)=\frac{n}{2^{n}}\) Un petit calcul montre que \(P(A)P(B)=P(A\cap B)\) si et seulement si \(n=3\).

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