On dit que \(X\) suit une loi Gamma de paramètres \(p\) et \(\theta\) (\(p > 0\), \(\theta > 0\)), notée \(\gamma(p, \theta)\), si sa densité (par rapport à la mesure de Lebesgue) est : \[f(x) = \frac{\theta^p}{\Gamma(p)} x^{p-1} \exp(-\theta x)\mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x),\] ou de façon équivalente, si sa fonction caractéristique vaut \[\Phi_X(t) = \frac{1}{(1-it/\theta)^p}\] pour tout réel \(t\). On rappelle les propriétés suivantes de la fonction Gamma : \[\forall\alpha > 0,\,\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} x^{\alpha-1} \exp(-x)dx,\,\,\, \\ \Gamma(\alpha + 1) = \alpha\Gamma(\alpha),\,\, \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}.\]
Vérifier que la loi \(\gamma(p, \theta)\) est bien une loi de probabilité.
Calculer \(E(X^k)\) pour \(k \geq 1\). En déduire que \(E(X) = \frac{p}{\theta}\) et \(\text{Var}(X) = \frac{p}{\theta^2}\).
Soit \(Y\) de loi \(\mathcal{N}(0, 1)\). Calculer la densité de \(Y^2\). En déduire que \(\gamma(1/2, 1/2) = \chi^2(1)\).
Si \(a > 0\), montrer que \(X/a \sim \gamma(p, a\theta)\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux v.a. indépendantes de lois respectives \(\gamma(p_1, \theta)\) et \(\gamma(p_2, \theta)\). Montrer que \(X + Y \sim \gamma(p_1 + p_2, \theta)\).
Si \(X_1, \ldots, X_n\) sont \(n\) variables aléatoires indépendantes de même loi \(\gamma(1, \theta)\) (loi exponentielle de paramètre \(\theta\)), donner la loi de la somme \(S_n = X_1 + \ldots + X_n\) et calculer \(E(S_n)\) et \(\text{Var}(S_n)\).
Si \(X_1, \ldots, X_n\) sont \(n\) variables aléatoires indépendantes de même loi \(\mathcal{N}(0, 1)\), donner la loi de \(S'_n = X_1^2 + \ldots + X_n^2\) et en déduire que \(\gamma(n/2, 1/2) = \chi^2(n)\). Calculer \(E(S'_n)\) et \(\text{Var}(S'_n)\).