On voit que \(I= \int \cos(x^3)e^{-x} \chi_{[0;1]}(x)dx = \mathbb{E}\left( \cos(U^3)e^{-U} \right)\) où \(U\) suit une loi \(\mathcal{U}([0;1])\). Donc si \(U_1,U_2...\) est une suite de VA iid selon la loi \(\mathcal{U}([0;1])\), alors la loi des grands nombres donne la convergence presque sûre : \[\frac{\cos(U_1^3)e^{-U_1}+...+\cos(U_n^3)e^{-U_n}}{n} \longrightarrow I\]

Il suffit donc de programmer l’algorithme suivant :

N=1000
S = 0
Pour i variant de 1 à N :
U = simulation d’une loi \(\mathcal{U}([0;1])\)
\(S = S+ \cos(U^3) \times \exp(-U)\)
Afficher \(S/N\)

On voit aussi que \(I= \int \cos(x^3) \chi_{[0;1]}(x) \chi_{[0;+\infty[}(x) e^{-x}dx = \mathbb{E}\left(\cos(V^3) \chi_{[0;1]}(V) \right)\) où \(V\) suit une loi \(\mathcal{E}(1)\).

Deux calculs d'intégrale