Soit \(X\) un espace métrique et \((a_n)\) une suite de Cauchy dans \(X\).
1
Montrer que pour tout \(x\in X\), la suite de réels \((d(a_n,x))\) a une limite. On note \(f(x)\) cette limite; montrer que l’application \(x\to f(x)\) est continue de \(X\) dans \(\Rr\).
2
Calculer \(\inf_{x\in X} f(x)\). Quand cette borne inférieure est-elle atteinte?
3
Déduire de ce qui précède que si \(X\) n’est pas complet, il existe une application \(\phi:X\to\Rr\) continue et non bornée.