On se place dans \(\Z/p\Z\) et on considère \(J = (\delta_{i,i+1\bmod p})\). On a \(J^p = I\) et \(A = a_0J^0 + \dots a_{p-1}J^{p-1}\) donc \(A^p = (a_0^p+\dots + a_{p-1}^p)I\) (car on est en caractéristique \(p\)).

On en déduit \(\det(A) = \det(A)^p = (a_0^p+\dots + a_{p-1}^p)^p = a_0+\dots + a_{p-1}\).

Autre méthode en restant dans \(\Z\) : \(\det(A) = \sum_{\sigma\in S_p} \varepsilon(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\dots a_{p,\sigma(p)} = \sum_{\sigma\in S_p} \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1)-1\bmod p}\dots a_{\sigma(p)-p\bmod p}\). Notons \(x(\sigma) = \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1)-1\bmod p}\dots a_{\sigma(p)-p\bmod p}\) et \(c\) le cycle \((1,2,\dots,p)\). Alors \(x(\sigma) = x(c^{-k}\circ\sigma\circ c^k)\) pour tout \(k\in\Z\). Le nombre de permutations distinctes que l’on obtient à \(\sigma\) fixé en faisant varier \(k\) est égal à \(1\) si \(\sigma\) et \(c\) commutent, et à \(p\) sinon, d’après la relation : \(\mathrm{Card}\,(\text{orbite})\times\mathrm{Card}\,(\text{stabilisateur}) = \mathrm{Card}\,({<c>}) =p\). De plus, \(c\) et \(\sigma\) commutent si et seulement si \(\sigma\in{<c>}\) (facile), d’où \(\det(A)\equiv \sum_{k=0}^{p-1}\varepsilon(c^k)a_{k}^p \equiv a_0+\dots+a_{p-1}\bmod p\).

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