Pour chacune des inéquations, on se ramène, par changement de variable inconnue, à une inéquation du second degré, que l’on résout. On revient ensuite à la variable de départ.

Pour la première, on commence par multiplier par \(\eu{x}>0\). L’inéquation devient \(\left(\eu{x}\right)^2<\eu{x}+6\). On pose \(X=\eu{x}\). L’inéquation s’écrit alors \(X^2<X+6\), c’est-à-dire \(X^2-X-6<0\). Le tableau de signe de cette inéquation est :

On revient à la variable de départ : \(\eu{x}<1+6\eu{-x} \Longleftrightarrow \eu{x}\in \left]-2,\,3\right[\), c’est-à-dire \(x\in \left]-\infty,\,\ln(3)\right[\). Ainsi, \(\boxed{\mathcal{S}=\left]-\infty,\,\ln(3)\right[}\).

Pour la deuxième, il s’agit d’une inéquation du second degré. On obtient rapidement que \(\boxed{\mathcal{S}=\left]-\infty,\,-1\right] \cup \left[6,\,+\infty\right[}\).

Pour la dernière, on pose \(X=|x|\). L’inéquation devient \(X^2-4X-5\leq 0\), dont les solutions sont \(\left[-1,\,5\right]\). On revient à la variable de départ : \(x^2-4|x|\leq 5\) est donc équivalente à \(|x|\in \left[-1,\,5\right]\), c’est-à-dire \(x\in \left[-5,\,5\right]\). Bilan : \(\boxed{\mathcal{S}=\left[-5,\,5\right]}\).

Un air de second degré