Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de
Bernoulli de paramètre \(p\). On définit la variable aléatoire \(T_1\) à valeurs dans
\(\Nn\cup\{+\infty\}\) par \(T_1=\inf\{k>0 \mid X_k=1\}\), avec la
convention \(\inf(\emptyset)=+\infty\).
(si on joue à pile \(=0\) ou
face \(=1\),
\(T_1\) est le temps nécessaire pour obtenir face une première fois)
Montrer que \(T_1\) est fini presque sûrement.
Déterminer la loi et l’espérance de \(T_1\) (cette loi est appelée loi géométrique, \(E(T_1)\) est le nombre moyen de lancers qu’il faut effectuer pour obtenir face une première fois).
Pour tout \(n\geq 2\), on définit par récurrence
\(T_n=\inf\{k>T_{n-1}\mid X_k=1\}\).
(si on joue à pile ou face, \(T_n\)
est le temps nécessaire pour obtenir exactement \(n\) fois face)
Montrer que les variables aléatoires \(T_1,\ (T_2-T_1), \ldots,\ (T_n-T_{n-1}),\ldots\)
sont indépendantes et de même loi.
Quelle est la loi de \(T_n\) ?