Démontrer par récurrence les résultats suivants :
1
\(\ds{\forall n\geq 1,\quad 1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}\)
2
Si \(a\) est un réel fixé \(a\geq -1\), \[\ds{\forall n,\quad (1+a)^n\geq 1+na} \quad\quad \textrm{(inégalité de Bernoulli)}\]
3
Si \(u\) est la suite définie par \(u_0=7\) et pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}=2u_n-3\), alors \[\forall n, \quad u_n=2^{n+2}+3\]
4
Si \(q\neq 1\), alors \[\forall n, \quad 1+q+\cdots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
5
\(\ds{\forall n\geq 1, \quad 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2}\)