On munit \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) d’une norme sous-multiplicative notée \(\|\;\|\). Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Soit \(p\in\Nn^*\).

\(\left\|\sum_{k=0}^{p} \frac{A^k}{k!}-\left(I+ \frac{A}{p}\right)^p\right\| =\left\|\sum_{k=0}^{p}\left( \frac{1}{k!}- \frac{C_p^k}{p^k}\right)A^k\right\|\leqslant\sum_{k=0}^{p}\left| \frac{1}{k!}- \frac{C_p^k}{p^k}\right|\|A\|^k\).

Maintenant, \(\forall k\in\llbracket1,p\rrbracket\), \(\frac{1}{k!}- \frac{C_p^k}{p^k}= \frac{1}{k!}\left(1- \frac{\overbrace{p\times(p-1)\times\ldots\times(p-k+1)}^{k}}{\underbrace{p\times p\times\ldots\times p}_{k}}\right)\geqslant 0\). Donc,

\(\sum_{k=0}^{p}\left| \frac{1}{k!}- \frac{C_p^k}{p^k}\right|\|A\|^k=\sum_{k=0}^{p} \frac{\|A\|^k}{k!}-\left(1+ \frac{\|A\|^p}{p}\right)^p\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}e^{\|A\|}-e^{\|A\|}= 0\).

On en déduit que \(\sum_{k=0}^{p} \frac{A^k}{k!}-\left(I+ \frac{A}{p}\right)^p\) tend vers \(0\) quand \(p\) tend vers \(+\infty\) et puisque \(\sum_{k=0}^{p} \frac{A^k}{k!}\) tend vers \(\text{exp}(A)\) quand \(p\) tend vers \(+\infty\), il en est de même de \(\left(I+ \frac{A}{p}\right)^p\).

\(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\), \(\text{exp}(A)=\lim_{p \rightarrow +\infty}\left(I_n+ \frac{A}{p}\right)^p\).

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