On munit \((\Rr^3)^2\) de la norme définie par \(\forall(x,y)\in(\Rr^3)^2\), \(\|(x,y)\|=\text{Max}\{\|h\|_2,\|k\|_2\}\).

Soit \((a,b)\in(\Rr^3)^2\). Pour \((h,k)\in(\Rr^3)^2\),

\(f((a,b)+(h,h))=(a+h).(b+k)=a.b+a.h+b.k+h.k\),

et donc \(f((a,b)+(h,h))-f((a,b))=(a.h+b.k)+h.k\). Maintenant l’application \(L~:~(h,k)\mapsto a.h+b.k\) est linéaire et de plus, pour \((h,k)\neq(0,0)\),

\(|f((a,b)+(h,h))-f((a,b))-L((h,k))|=|h.k|\leqslant\|h\|_2\|k\|_2\leqslant\|(h,k)\|^2\),

et donc \(\frac{1}{\|(h,k)\|}|f((a,b)+(h,h))-f((a,b))-L((h,k))|\leqslant\|(h,k)\|\) puis

\(\lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} \frac{1}{\|(h,k)\|}|f((a,b)+(h,h))-f((a,b))-L((h,k))|=0\).

Puisque l’application \((h,k)\mapsto a.h+b.k\) est linéaire, on en déduit que \(f\) est différentiable en \((a,b)\) et que \(\forall(h,k)\in(\Rr^3)^2\), \(df_{(a,b)}(h,k)=a.h+b.k\).

La démarche est analogue pour le produit vectoriel :

\(\frac{1}{\|(h,k)\|}\|(a+h)\wedge(b+k)-a\wedge b-a\wedge h-b\wedge k\|_2= \frac{\|h\wedge k\|_2}{\|(h,k)\|}\leqslant \frac{\|h\|_2\|k\|_2}{\|(h,k)\|}\leqslant\|(h,k)\|\).

Puisque l’application \((h,k)\mapsto a\wedge h+b\wedge k\) est linéaire, on en déduit que \(g\) est différentiable en \((a,b)\) et que \(\forall(h,k)\in(\Rr^3)^2\), \(dg_{(a,b)}(h,k)=a\wedge h+b\wedge k\).

exo7 5899