\[\begin{align*}\ensuremath P&=X^6-2X^3\cos a+1=(X^3-e^{ia})(X^3-e^{-ia})\\ &=(X-e^{ia/3})(X-je^{ia/3})(X-j^2e^{ia/3})(X-e^{-ia/3})(X-je^{-ia/3})(X-j^2e^{-ia/3})\\ &=(X^2-2X\cos\frac{a}{3}+1)(X^2-2X\cos(\frac{a}{3}+\frac{2\pi}{3})+1)(X^2-2X\cos(\frac{a}{3}-\frac{2\pi}{3})+1) \end{align*}\]

Il reste à se demander 1) si les facteurs précédents sont irréductibles sur \(\Rr\) et 2) si ces facteurs sont deux à deux distincts.

Les trois facteurs de degré \(2\) ont un discriminant réduit du type \(\Delta'=\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha\) et \(\Delta'\) est nul si et seulement si \(\alpha\) est dans \(\pi\Zz\).

Les cas particuliers sont donc (\(\frac{a}{3}\) est dans \(\pi\Zz\) et donc \(a=0\)) et (\(\frac{a+2\pi}{3}\) est dans \(\pi\Zz\) et donc \(a=\pi\)) et (\(\frac{a-2\pi}{3}\) est dans \(\pi\Zz\) ce qui n’a pas de solution dans \([0,\pi]\)).

1er cas. Si \(a=0\).

\[P=(X^2-2X+1)(X^2+X+1)(X^2+X+1)=(X-1)^2(X^2+X+1)^2.\]
2ème cas. Si \(a=\pi\), en remplaçant \(X\) par \(-X\) on obtient :

\[P=(X+1)^2(X^2-X+1)^2.\]
3ème cas. Si \(a\) est dans \(]0,\pi[\), les trois facteurs de degré \(2\) sont irréductibles sur \(\Rr\) et clairement deux à deux distincts. Donc

\[P=(X^2-2X\cos\frac{a}{3}+1)(X^2-2X\cos\frac{a+2\pi}{3}+1)(X^2-2X\cos\frac{a-2\pi}{3}+1).\]

exo7 5342